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| 內容簡介： |
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本书为《代数学教程》第三卷，主要讨论我们熟悉的那些数系：自然数集、整数环、有理数域、实数域、复数域，以及超复数等.编者从数学结构的角度出发，以新颖的论述方式讲述了每一种数系的构造(运算)及其性质，建立起了严格、系统的科学数系的逻辑过程.本书适合高等院校理工科师生及数学爱好者阅读.
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| 目錄：
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第一章 自然数理论//1
§1 自然数 //1
1.1 数和数数 //1
1.2 自然数及其运算 //3§2 自然数的序 //8
2.1 最小数原理与数学归纳法 //8
2.2 归纳定义·若干个数的和与积 //11
§3 自然数的整除性理论 //17
3.1 自然数的整除性 //17
3.2 辗转相除法 //19
3.3 素数 //20
§4 自然数的公理 //24
4.1 自然数的公理系统 //24
4.2 自然数的运算 //25
4.3 关于自然数公理系统的评论 //32
§5 记数制度 //37
5.1 制度数 //37
5.2 研究在制度数上运算的方法·数的比较 //40
5.3 加法·减法 //43
5.4 乘法·除法 //47
5.5 从一个记数制度换到另一个 //51
第二章 整数环//56
§1 整数的定义 //56
1.1 算术和代数中的扩张原则·等价关系的基本定理 //56
1.2 整数环的定义 //59
1.3 整数的性质 //67§2 整数的整除性//71
2.1 整数的整除性理论 //71
2.2 不可分解的整数·整数的唯一分解定理 //75
2.3 半交换环 //77
第三章 有理数域//81
§1 有理数域的定义 //81
1.1 前言·有理数的定义 //81
1.2 有理数域的建立 //83
§2 有理数的性质 //88
2.1 有理数的性质 //88
2.2 n进有理数 //94
2.3 商域 //97
第四章 实数域//99
§1 实数域的第一种定义 //99
1.1 前言·连续性的第一种表述 //99
1.2 有理数域的不连续性·实数域的定义 //104
§2 实数域的戴德金构造 //110
2.1 分割集的序 //110
2.2 分割的加法运算 //113
2.3 分割加法的逆·减法运算 //115
2.4 分割的乘法运算 //118
2.5 分割的除法运算 //121
2.6 实数集R的密集性与连续性 //126
§3 实数域的第二种定义 //130
3.1 数列的极限·有理数域的不完备性 //130
3.2 连续性的第二种表述 //141
§4 实数域构造的康托方法 //145
4.1 实数域的定义及其性质 //145
4.2 实数域的构造//149
4.3 实数的性质 //157
§5 实数域的公理化定义 //168
5.1 实数域的公理化定义 //168
5.2 两种连续公理的统一 //174
§6 用小数书写实数 //180
6.1 基本定理·第一部分的证明//180
6.2 第二部分的证明 //186
§7 连分数理论 //193
7.1 引言·连分数的基本概念 //193
7.2 渐近分数 //196
7.3 无限连分数 //200
7.4 以自然数为元素的连分数 //204
7.5 用连分数表示实数 //207
7.6 渐近分数作为最佳逼近 //210
7.7 二次无理数和循环连分数 //217
7.8 连分数的几何解释 //219
第五章 复数域//222
§1 复数 //222
1.1 引言·复数域的定义 //222
1.2 复数域的构造 //225
§2 复数的性质 //229
2.1 复数的三角形式与几何表示法 //229
2.2 复数的开方 //235
2.3 共轭复数·复数的模//238
§3 超复数 //243
3.1 超复数系//243
3.2 四元数 //246
3.3 弗罗贝尼乌斯定理 //252
§4 复数的历史发展 //258
4.1 复数的起源 //258
4.2 复数的发展//260
第六章 代数数域//264
§1 代数数与超越数 //264
1.1 代数数与超越数 //264
1.2 数e和π的超越性·代数数域的可数性 //267
1.3 代数数的极小多项式 //274
1.4代数数的性质 //276
§2 高斯整数的整除性理论 //279
2.1 高斯整数环·高斯整数的整除性·高斯整数的范数 //279
2.2 高斯整数环的单位·高斯素数 //280
2.3 高斯整数的带余除法和最大公因数 //282
2.4 高斯整数的唯一因子分解 //286
§3 代数整数的整除性理论 //288
3.1 代数整数环 //288
3.2 有理数域上的代数数域 //291
3.3 代数数域的基底 //294
3.4 代数整数环中的算术 //298
3.5 二次代数整数的因子分解 //300
§4 理想数的唯一分解定理 //303
4.1 理想数的概念与乘法 //303
4.2 理想数的唯一分解定理及其应用//308
参考文献 //312
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