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| 編輯推薦： |
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复变函数在自然科学及工程技术中都有广泛的应用，例如工科中的电路理论，信息处理，信号与系统，通讯工程，工程力学，自动控制等专业课，所以复变函数与积分变换课程是理工科类大部分专业的必修课程，也是我校信息电子类相关专业的专业基础课程。结合工程教育专业认证的标准，特别是近些年，随着计算机软件应用的推广，各大高校的教学改革步伐在加快，课程设置优化，课程学时精简，在有些高校的工科学生中称其为*难的数学课，不及格率较高。为学生提供一本适合我们学生的复变函数与积分变换的教材十分必要。
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| 內容簡介： |
" 本书主要介绍复数与复变函数、解析函数、复积分、解析函数的幂级数表示和洛朗展式、留数理论及其应用、傅氏变换、拉氏变换等内容，每章配有适量习题供读者选用，书末附有习题参考答案．附录中附有傅氏变换简表和拉氏变换简表，可供学习时查用．
本书适合于高等院校工科各专业，尤其可作为电子工程、通信、自动化、计算机、航空及测控等专业的教材，还可供工程技术人员和相关科技工作者阅读参考．
"
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| 關於作者： |
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贾云涛，2006年4月硕士毕业于浙江大学数学系计算数学专业。现为北京理工大学珠海学院数理与土木工程学院数学教学部主任。作为副主编参与《微积分与数学模型》教材的编写和《大学文科数学》教材的编写。发表了多篇学术论文。
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| 目錄：
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目 录
第1章 预备知识 1
1.1 复数与复变函数 1
1.1.1 复数的基本概念 1
1.1.2 复数的四则运算 1
1.1.3 复平面、复数的模与辐角 3
1.1.4 复数的三角表示 3
1.1.5 平面曲线的实变量复值函数表示 4
1.1.6 复变函数的概念 5
1.1.7 复变函数的极限与连续性 5
1.2 解析函数 6
1.2.1 复变函数的导数 6
1.2.2 解析函数的概念与求导法则 7
1.2.3 解析函数的一个充分必要条件 8
1.3 复变函数的积分 9
1.3.1 复积分的定义与计算 9
1.3.2 复积分的基本性质 11
1.3.3 柯西积分定理 11
1.3.4 柯西积分公式 13
本章小结 14
习题1 15
第2章 解析函数的级数表示 17
2.1 复数项级数 17
2.1.1 复数序列的极限 17
2.1.2 复数项级数 17
2.2 复变函数项级数 19
2.2.1 复变函数项级数 19
2.2.2 幂级数 20
2.3 泰勒级数 23
2.4 洛朗级数 26
本章小结 31
习题2 31
第3章 留数及其应用 33
3.1 孤立奇点 33
3.1.1 孤立奇点的分类 33
3.1.2 函数的零点与极点的关系 36
3.2 留数 38
3.2.1 留数的概念及留数定理 38
3.2.2 函数在极点的留数 41
3.3 留数在定积分计算中的应用 43
3.3.1 形如的积分 43
本章小结 45
习题3 46
第4章 傅里叶变换 47
4.1 傅里叶变换的概念 47
4.1.1 傅里叶级数 47
4.1.2 傅氏积分与傅氏变换 50
4.2 单位冲激函数-函数 54
4.2.1 单位冲激函数的概念及其性质 54
4.2.2 -函数的傅氏变换 56
4.3 傅里叶变换的性质 57
4.3.1 基本性质 57
4.3.2 卷积与卷积定理 61
4.4 综合举例 62
本章小结 66
习题4 66
第5章 拉普拉斯变换 68
5.1 拉普拉斯变换的概念 68
5.1.1 拉普拉斯变换的定义 68
5.1.2 拉氏变换与傅氏变换的关系 70
5.2 拉普拉斯变换的性质 71
5.2.1 线性性质与尺度变换 71
5.2.2 平移性质 72
5.2.3 微分性质 73
5.2.4 积分性质 75
5.2.5 卷积与卷积定理 76
5.3 拉普拉斯变换的应用 78
5.3.1 留数方法计算拉氏逆变换 78
5.3.2 求解常微分方程（组） 79
5.3.3 求解积分方程 83
5.3.4 求偏微分方程 84
5.3.5 使用MATLAB求解拉氏变换 84
本章小结 85
习题5 86
附录1 傅氏变换简表 88
附录2 拉氏变换简表 91
部分习题参考答案 96
习题1 96
习题2 96
习题3 97
习题4 98
习题5 99
名词索引 101
参考文献 102
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前言
复变函数理论在19世纪由三位著名的数学家柯西、魏尔斯特拉斯和黎曼奠定了基础. 柯西建立了复变函数的积分理论；魏尔斯特拉斯建立了复变函数的级数理论；黎曼建立了复变函数的几何理论. 20世纪初，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱和阿达马进一步开拓了复变函数理论的研究领域，为这门学科的发展做出了重要贡献.复变函数与积分变换是高等学校理工科各专业学生的必修课程，该课程在自然科学和工程技术等领域有着广泛的应用，例如电气工程、通信与控制、信号分析与图像处理、机械系统、流体力学、地质勘探与地震预报等.随着我国本科教育改革的深入，很多地方高校提出了培养复合型应用人才的目标. 为了满足学生多方面的需要，我们融合了多年来课程建设的实践经验，在参考了大量优秀教材、汲取了很多同仁宝贵经验的基础上编写了本书. 本书基于有限的课时和本科高校的实际教学情况，适当地降低了一些内容的理论深度，对复数与复变函数、解析函数、复积分、解析函数的幂级数表示和洛朗展式、留数理论及其应用、傅氏变换、拉氏变换等内容做了较为系统的介绍. 同时淡化了定理的推导，强调方法的训练，在确保知识体系完整的基础上，删去了一些难度较大和相对独立的内容，力求做到数学过程通俗易懂，结论形式易于运用.本教材的具体编写分工是：第1章由刘汉文编写；第2章由张瑞敏编写；第3章由贾云涛编写；第4章由张平编写；第5章由夏炳墅编写. 最后由贾云涛对全书进行统稿.编者衷心感谢清华大学出版社的大力支持，感谢北京理工大学珠海学院数理与土木工程学院领导和数学教学部全体教师给予的帮助和指导.由于作者水平有限，书中难免有错漏不当之处，敬请专家、同行和读者批评指正.编 者2017年2月
第1章 预备知识复变函数就是自变量与因变量均取复数的函数，它是本课程的研究对象；而解析函数是本课程讨论的中心，是复变函数研究的主要对象；复变函数的积分是研究解析函数的一个重要工具，解析函数的许多重要性质是通过复积分证明的. 本章主要论述复变函数、解析函数以及复积分，为后续章节奠定必要基础.1.1 复数与复变函数1.1.1 复数的基本概念我们将形如的数称为复数，其中称为虚数单位，并规定或；x与y是任意实数，依次称为z的实部与虚部，分别表示为
当时，，我们就认为它是实数x；当时，，我们就认为它为纯虚数，并且写作.设是两个复数. 如果，则称与相等. 由此得出，对于复数，当且仅当.设是一个复数，称为z的共轭复数，记作，易知.1.1.2 复数的四则运算设是两个复数. 定义复数的加法为.1.1复数的减法是加法的逆运算. 如果存在复数z使，则. 因此得.1.2定义复数的乘法为.1.3例如,由乘法定义可验证
复数的除法是乘法的逆运算. 当时，我们说：除以得到z，意思就是.从这个式子来求z，记，由于
则根据两个复数相等的定义得到
由此解得.这就是说，当时，.1.4因为可直接验证
从而
即.例如.同实数的四则运算一样，复数加法满足结合律与交换律；复数乘法也满足结合律与交换律；加法与乘法满足分配律，这些读者都可自行验证.下面介绍有关共轭的几个运算性质：
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